第1章 上一章注释001

【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了?，我调整一下，过会儿再看】

硬核程度：☆☆☆☆☆

涉及领域：计算理论

大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？

可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。

以下开始：

首先，什么是可计算？

可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。

为了方便描述，先行约定一下数学符号。

假设我们有一个乘法器，叫做ult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。

比如，输入（3，4）输出12

输入（6，2）输出12

输入（0，6）输出0

这时，我们把这些输入数对叫做doa，输出的一个数叫做doa。

如果我们用z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：

ult:z2→z

中间的这个→表示这个ult是一个totalfunction，也许可以称作“全函数”

吧，意思是每一个doa里的输入，都能对应一个doa里的输出。

与全函数相对应的是，是“偏函数”

。

对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。

比如一个除法器，当我们给它（6，0）时，它输出不了任何东西。

这个除法器可以表示为：

div:z2—z

这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）

好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。

后继函数：su:n→n，su（x）=x+1，n代表自然数集。

我们给它2，它输出3；给它3它输出4。

总之就是往上+1

零函数：zero:nn→n，zero=0。

不管给它什么，它都输出0

投影函数：projn:nn→n，proj（x1，，xn）=xi。

它接受长度为n的输入，输出是正常内容

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